Dividere una circonferenza in nove parti di area uguale

Riuscite a dividere una circonferenza in nove parti di area uguale, usando solo riga e compasso ?

Il problema è interessante; la soluzione non è costruire il poligono regolare di 9 lati e usarlo per dividere la circonferenza, in quanto il poligono con 9 lati non è costruibile mediante riga e compasso. Questo significa che le aree devono avere forme diverse. Supponiamo che il raggio del cerchio di partenza sia 1, quello che avevo pensato era di dividere il cerchio in due parti, una corona circolare A e un cerchio B in maniera tale che l’area del cerchio fosse 1/8 dell’area della corona circolare. Fatto ciò basterebbe dividere la corona circolare in 8 pezzi per avere la suddivisione cercata. L’ottagono regolare è costruibile mediante riga e compasso.
Quindi il problema si riduce a trovare un punto r tale che 8*PI*(r^2) = PI*(1-r^2). Barando un poco con l’algebra, troviamo che r = 1/3. Quindi per dividere il cerchio in 9 parti uguali dobbiamo dividere in tre parti uguali il raggio, Tracciare una circonferenza che ha come raggio 1/3 del raggio della circonferenza originaria, e poi dividere in 8 parti, mediante un ottagono regolare, la corona circolare rimanente.

link:
– costruzione della suddivisione di un segmento in n parti uguali.
http://www.math.it/cabri/dividisegmento.htm

– costruzione dell’ottagono regolare.
http://it.wikipedia.org/wiki/File:Regular_Octagon_Inscribed_in_a_Circle.gif

PS
Quella sopra era la mia soluzione originale. In realtà si poteva ragionare in maniera più semplice: bastava costruire un cerchio la cui area fosse 1/9 dell’area del cerchio iniziale, e quindi il raggio fosse 1/3 di quello del raggio iniziale. Allora la corona circolare rimanente, tolto il cerchio minore, avrebbe avuto come area 8/9 del cerchio iniziale. Ho aggiunto questo per mostrare che spesso alle soluzioni ci si arrivi prima in maniera contorta e poi ci si accorga che esiste un percorso più semplice. Un altra soluzione potrebbe essere invece costruire una corona circolare la cui area misura 4/9 e una circonferenza la cui area misura 5/9 e suddividerle ulteriormente in 4 e 5 rispettivamente. Oppure tagliare una corona circolare di area pari ad 1/9 e dividere il cerchio rimanente in 8.

Esiste anche un algoritmo ricorsivo, facilmente generalizzabile ad ogni divisione in N parti con N>=2. Partendo dal cerchio C0 iniziale si costruisce il cerchio C1 la cui area è pari ad (N-1/N) l’area di C0. La corona circolare ha area pari ad 1/N. Adesso si suddivide C1 in N-1 parti, costruendo il cerchio C2 la cui area è pari a ((N-2)/(N-1)) * C1 = ((N-2)/N) * C0. La corona circolare rimanente ha sempre area pari ad (1/N) * C0. E così via.

2 Comments

  1. plinio:

    scusa la gnoranza, forse mi sono perso qualche ipotesi..
    ma se supponiamo raggio = 1, non basta costruirsi i 9 settori tracciando le proiezioni calcolate con sin(40°)?

  2. Giancarlo:

    Grazie per la segnalazione; avevo dimenticato di scrivere che la suddivisione doveva essere fatta impiegando riga e compasso. Adesso ho corretto.